Xét Y {\displaystyle Y} là một tập hợp con của một không gian tô-pô X {\displaystyle X} . Y {\displaystyle Y} được gọi là một tập con compact của X {\displaystyle X} nếu điều kiện sau được thỏa mãn: nếu Y ⊂ ∪ j ∈ I A j {\displaystyle Y\subset \cup _{j\in I}{A_{j}}} và với A i {\displaystyle A_{i}} là các tập con mở của X {\displaystyle X} , fhì tồn tại một tập con hữu hạn J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} sao cho Y ⊂ ∪ j ∈ J A j {\displaystyle Y\subset \cup _{j\in J}A_{j}} (nghĩa là với mọi phủ mở của Y {\displaystyle Y} , có một phủ hữu hạn các tập mở bao hàm nó). Ngắn gọn, Y {\displaystyle Y} là một tập con compact khi và chỉ khi "mọi phủ mở đều có phủ con hữu hạn".[1]

Một không gian tô-pô X {\displaystyle X} được gọi là compact nếu tập con tầm thường X ⊂ X {\displaystyle X\subset X} là một tập con compact.

Không gian con compact

Cho A {\displaystyle A} là không gian con của không gian tô pô X {\displaystyle X} . Cho I {\displaystyle I} là tập chỉ số của một phủ mở của A {\displaystyle A} . Với mỗi O ∈ I {\displaystyle O\in I} là chỉ số của một tập mở của A {\displaystyle A} , thì ta có U O {\displaystyle U_{O}} mở trong X {\displaystyle X} sao cho O = U O ∩ A {\displaystyle O=U_{O}\cap A} . Vì vậy, ta có họ các tập mở { U O ∣ O ∈ I } {\displaystyle \left\{U_{O}\mid O\in I\right\}} của X {\displaystyle X} mà có hội chứa A {\displaystyle A} . Nói cách khác, nếu có một họ I {\displaystyle I} các tập mở trong X {\displaystyle X} có hội chứa A {\displaystyle A} , thì họ { U ∩ A ∣ U ∈ I } {\displaystyle \left\{U\cap A\mid U\in I\right\}} là một phủ mở của A {\displaystyle A} . Do đó, A {\displaystyle A} là không gian con compact của X {\displaystyle X} nếu cho họ { U i } i ∈ I {\displaystyle \left\{U_{i}\right\}_{i\in I}} là họ các tập mở bất kì có phần hội chứa A {\displaystyle A} , thì tồn tại J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} và | J | < ∞ {\displaystyle \left|J\right|<\infty } sao cho { U j } j ∈ J {\displaystyle \left\{U_{j}\right\}_{j\in J}} có hội chứa A {\displaystyle A} . Vì vậy, ta có thể định nghĩa không gian con A {\displaystyle A} của X {\displaystyle X} là compact qua hai cách: dùng họ phủ mở của A {\displaystyle A} hoặc họ các tập mở trong X {\displaystyle X} có hội chứa A {\displaystyle A} .

Nói cách khác, một tập con là compact khi và chỉ khi nó là một không gian con compact với tô-pô cảm sinh.